Ako vypočítať okamžitú rýchlosť

Rýchlosťje definovaná ako rýchlosť objektu v danom smere. V mnohých bežných situáciách na nájdenie rýchlosti použijeme rovnicu v = s / t, kde v sa rovná rýchlosti, s sa rovná celkovému posunutiu z počiatočnej polohy objektu a t sa rovná uplynutému času. To však technicky dáva iba objekt priemer rýchlosť nad jeho dráhou. Pomocou kalkulu je možné vypočítať rýchlosť objektu kedykoľvek v jeho priebehu. Toto sa volá okamžitá rýchlosť a je definovaná rovnicou v = (ds) / (dt) , alebo inými slovami, derivácia objektupriemerná rýchlosťrovnica.

Časť jeden z 3: Výpočet okamžitej rýchlosti

jeden Začnite rovnicou rýchlosti z hľadiska posunu. Aby sme získali okamžitú rýchlosť objektu, najskôr musíme mať rovnicu, ktorá nám hovorí jeho polohu (z hľadiska posunu) v určitom časovom okamihu. To znamená, že rovnica musí mať premennú s na jednej strane sama o sebe a t na druhej strane (ale nie nevyhnutne sám), napríklad takto:

s = -1,5 t²+ 10t + 4
ortéza na ruky a lakte
- V tejto rovnici sú to premenné:
  
  Výtlak = s . Vzdialenosť, ktorú objekt prešiel zo svojej východiskovej polohy. Napríklad, ak ide objekt 10 metrov dopredu a 7 metrov dozadu, jeho celkový posun je 10 - 7 = 3 metre (nie 10 + 7 = 17 metrov).
  
  Čas = t . Vysvetlenie úplne. Zvyčajne sa meria v sekundách.
2 Vezmite deriváciu rovnice. Thederivátrovnice je len iná rovnica, ktorá vám hovorí jej sklon v ktoromkoľvek danom časovom okamihu. Ak chcete nájsť deriváciu vzorca na posunutie, odlíšte funkciu pomocou tohto všeobecného pravidla pre hľadanie derivácií: Ak y = a * xⁿ, Derivát = a * n * x^n-1 . Toto pravidlo platí pre každý výraz na strane „t“ rovnice.
- Inými slovami, začnite prechádzaním stranou „t“ vašej rovnice zľava doprava. Zakaždým, keď dosiahnete „t“, odčítajte od exponenta 1 a vynásobte celý výraz pôvodným exponentom. Všetky konštantné výrazy (výrazy, ktoré neobsahujú „t“) zmiznú, pretože sa vynásobia číslom 0. Tento proces nie je v skutočnosti taký ťažký, ako to znie - odvodime napríklad rovnicu v kroku vyššie ako príklad:
  
  s = -1,5 t²+ 10t + 4
  (2) -1,5 t^(2-1)+ (1) 10 t^jedenásť+ (0) 4 s⁰
  -3т^jeden+ 10t⁰
  -3t + 10
3 Nahraďte „s“ za „ds / dt. „Aby sme ukázali, že naša nová rovnica je deriváciou prvej, nahradíme„ s “zápisom„ ds / dt “. Technicky tento zápis znamená „derivácia s vzhľadom na t.“ Jednoduchší spôsob, ako o tom uvažovať, je iba to, že ds / dt je iba sklon ľubovoľného daného bodu v prvej rovnici. Napríklad na vyhľadanie sklonu priamky vytvorenej s = -1,5 t²+ 10t + 4 pri t = 5, jednoducho by sme zapojili „5“ do t v jeho derivácii.
- V našom bežnom príklade by naša hotová rovnica mala teraz vyzerať takto:
  
  ds / dt = -3t + 10
4 Pripojte hodnotu t pre svoju novú rovnicu a nájdite okamžitú rýchlosť. Teraz, keď máte svoju derivačnú rovnicu, je ľahké nájsť okamžitú rýchlosť v ktoromkoľvek okamihu. Všetko, čo musíte urobiť, je zvoliť hodnotu t a zapojiť ju do svojej odvodenej rovnice. Napríklad, ak chceme nájsť okamžitú rýchlosť pri t = 5, nahradíme t za 5 v derivácii ds / dt = -3 + 10. Potom by sme rovnicu vyriešili takto:

ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metrov za sekundu
- Upozorňujeme, že vyššie používame štítok „metre za sekundu“. Pretože máme do činenia s posunom v metroch a časom v sekundách a rýchlosť je všeobecne len posun v čase, je toto označenie vhodné.
Reklama

Časť 2 z 3: Grafický odhad okamžitej rýchlosti

jeden Grafujte posunutie objektu v priebehu času. Vo vyššie uvedenej časti sme spomenuli, že derivácie sú iba vzorce, ktoré nám umožňujú nájsť sklon v ľubovoľnom bode rovnice, pre ktorú deriváciu použijeme. Ak v skutočnosti predstavuje posunutie objektu čiarou v grafe, sklon priamky v ktoromkoľvek danom bode sa rovná okamžitej rýchlosti objektu v danom bode.
- Ak chcete zobraziť graf posunutia objektu, použite os x na vyjadrenie času a os y na posunutie. Potom už lenbody zápletkyzapojením hodnôt pre t do svojej rovnice posunutia, získaním s hodnôt pre vaše odpovede a označením bodov t, s (x, y) v grafe.
- Upozorňujeme, že graf sa môže rozširovať pod os x. Ak čiara predstavujúca pohyb vášho objektu klesne pod os x, predstavuje to váš objekt pohybujúci sa za miestom, kde začal. Všeobecne sa váš graf nebude rozširovať za os y - my často nemeriame rýchlosť objektov pohybujúcich sa dozadu v čase!
2 Vyberte jeden bod P a bod Q, ktorý je blízko neho na priamke. Na nájdenie sklonu priamky v jednom bode P použijeme trik s názvom „získanie limitu“. Prijatie limitu znamená vziať dva body (P plus Q, bod v jeho blízkosti) na zakrivenú čiaru a nájsť sklon priamky, ktorá ich spája znova a znova, keď sa vzdialenosť medzi P a Q zmenšuje.
- Povedzme, že naša čiara posunutia obsahuje body (1,3) a (4,7). V takom prípade, ak chceme nájsť sklon na (1,3), môžeme nastaviť (1,3) = P a (4,7) = Q .
3 Nájdite sklon medzi P a Q. Sklon medzi P a Q je rozdiel v hodnotách y pre P a Q nad rozdielom v hodnotách x pre P a Q. Inými slovami, H = (a_Q- Y_P) / (X_Q- X_P) , kde H je sklon medzi dvoma bodmi. V našom príklade je sklon medzi P a Q:

H = (a_Q- Y_P) / (X_Q- X_P)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1.33
4 Opakujte niekoľkokrát a posuňte Q bližšie k P. Vaším cieľom je zmenšiť a zmenšiť vzdialenosť medzi P a Q, až kým sa nepriblíži k jedinému bodu. Čím menšia bude vzdialenosť medzi P a Q, tým bližší bude sklon vašich malých líniových segmentov k sklonu v bode P. Urobme to niekoľkokrát pre našu príkladnú rovnicu pomocou bodov (2,4,8), (1,5 , 3,95) a (1,25,3,49) pre Q a náš pôvodný bod (1,3) pre P:

Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8

Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (0,95) / (0,5) = 1.9

Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (0,49) / (0,25) = 1,96
5 Odhadnite sklon na nekonečne malom intervale na čiare. Keď sa Q bude čoraz viac približovať k P, H sa bude čoraz viac približovať k svahu v bode P. Nakoniec v nekonečne malom intervale sa H bude rovnať sklonu v P. Pretože nie sme schopní nekonečne merať alebo počítať malý interval, len odhadneme sklon na P, akonáhle je to zrejmé z bodov, ktoré sme vyskúšali.
- V našom príklade, keď sme Q posunuli bližšie k P, dostali sme pre H hodnoty 1,8, 1,9 a 1,96. Pretože sa zdá, že sa tieto čísla blížia k 2, môžeme povedať, že 2 je dobrý odhad pre sklon na P.
- Pamätajte, že sklon v danom bode priamky sa rovná derivácii rovnice priamky v danom bode. Pretože naša priamka ukazuje posunutie nášho objektu v čase a ako sme videli v časti vyššie, okamžitá rýchlosť objektu je deriváciou jeho posunu v danom bode, môžeme tiež povedať, že 2 metre za sekundu je dobrý odhad pre okamžitú rýchlosť pri t = 1.
Reklama

Časť 3 z 3: Vzorové problémy

jeden Nájdite okamžitú rýchlosť pri t = 4 vzhľadom na rovnicu posunu s = 5t³- 3t²+ 2t + 9. Je to ako náš príklad v prvej časti, až na to, že máme do činenia skôr s kubickou rovnicou ako s kvadratickou rovnicou, takže ju môžeme vyriešiť rovnakým spôsobom.
- Najprv vezmeme deriváciu našej rovnice:
  
  s = 5t³- 3t²+ 2t + 9
  s = (3) 5 t^{(3 - 1)}- (2) 3 s^{(dvadsaťjeden)}+ (1) 2 t^{(1 - 1) + (0) 9 t^{0 - 1}
  15t⁽²⁾- 6t^(jeden)+ 2 t^{(0)
  15t⁽²⁾- 6t + 2}}
  bod tenisovej hry
- Potom pripojíme našu hodnotu pre t (4):
  
  s = 15t⁽²⁾- 6t + 2
  15 (4)⁽²⁾- 6 (4) + 2
  15 (16) - 6 (4) + 2
  240 - 24 + 2 = 218 metrov za sekundu
2 Použite grafický odhad na nájdenie okamžitej rýchlosti pri (1,3) pre rovnicu posunu s = 4t²- t. Pre tento problém použijeme (1,3) ako náš P bod, ale budeme musieť nájsť niekoľko ďalších bodov v jeho blízkosti, aby sme ich mohli použiť ako naše Q body. Potom už len stačí nájsť naše hodnoty H a urobiť odhad.
- Najskôr nájdeme Q body na t = 2, 1,5, 1,1 a 1,01.
  
  s = 4t²- t
  
  t = 2: s = 4 (2)²- (dva)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, takže Q = (2,14)
  
  t = 1,5: s = 4 (1,5)²- (1,5)
  4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, so Q = (1,5,7,5)
  
  t = 1,1: s = 4 (1,1)²- (1.1)
  4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, so Q = (1,1,3,74)
  
  t = 1,01: s = 4 (1,01)²- (1,01)
  4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, takže Q = (1,01,3,0704)
- Ďalej poďme získať naše hodnoty H:
  
  Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
  H = (11) / (1) = jedenásť
  
  Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
  H = (4,5) / (0,5) = 9
  
  Q = (1,1,3,74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
  H = (0,74) / (0,1) = 7.3
  
  Q = (1.01,3,0704): H = (3,0704 - 3) / (1,01 - 1)
  H = (0,070) / (0,01) = 7.04
- Pretože sa zdá, že naše hodnoty H sa blížia k 7, môžeme to povedať 7 metrov za sekundu je dobrý odhad pre okamžitú rýchlosť pri (1,3).
Reklama

Otázky a odpovede komunity

Vyhľadávanie Pridať novú otázku

Otázka Aký je rozdiel medzi okamžitou a priemernou rýchlosťou? Okamžité je v tom okamihu, zatiaľ čo priemer je priemerom z celého časového rozpätia.
Otázka Ako vypočítam okamžité zrýchlenie? Okamžité zrýchlenie možno považovať za hodnotu derivácie okamžitej rýchlosti. Napríklad: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Ak chceme vedieť okamžité zrýchlenie pri t = 4, potom a (4) = 30 * 4 - 6 = 114 m / (s ^ 2)
Otázka Kedy sú okamžitá rýchlosť a priemerná rýchlosť rovnaké? Okamžitá rýchlosť vám hovorí rýchlosť objektu v jednom okamihu. Ak sa objekt pohybuje konštantnou rýchlosťou, priemerná rýchlosť a okamžitá rýchlosť budú rovnaké. Nie je pravdepodobné, že budú vo všetkých situáciách rovnaké.

Nezodpovedané otázky

Ako môžem nájsť rýchlosť nula medzi dvoma časmi? Odpoveď
Ako môžem nájsť rýchlosť nula medzi dvoma časmi? Odpoveď
Ako vypočítam 5t + 12t ^ 2? Odpoveď

Opýtať sa Zostáva 200 znakov. Po zodpovedaní tejto otázky uveďte svoju e-mailovú adresu. Predložiť
Reklama

Video . Použitím tejto služby môžu byť niektoré informácie zdieľané s YouTube.

Tipy

Ak chcete nájsť zrýchlenie (zmena rýchlosti v čase), použite metódu v prvej časti a získate derivačnú rovnicu pre svoju funkciu posunutia. Potom vezmite ďalšiu deriváciu, tentoraz vašej derivačnej rovnice. Získate tak rovnicu pre hľadanie zrýchlenia v danom čase - stačí, ak zapojíte svoju hodnotu za čas.
Rovnica, ktorá súvisí s Y (posunom) a X (časom), môže byť skutočne jednoduchá, napríklad Y = 6x + 3. V takom prípade je sklon konštantný a nie je potrebné nájsť deriváciu na nájdenie sklonu, čo je podľa základného modelu Y = mx + b pre lineárne grafy 6.
Posun je ako vzdialenosť, ale má stanovený smer, vďaka čomu je posun vektorom a rýchlosť skalárnym. Posun môže byť negatívny, zatiaľ čo vzdialenosť bude iba pozitívna.

Reklama Pridať tip Všetky príspevky tipov sú pred zverejnením starostlivo skontrolované. Ďakujeme za odoslanie tipu na kontrolu!